انتگرالگیری عددی از سیگنال [1]

  عموما جهت استفاده از اطلاعات سیگنال شتاب، از انتگرالگیری بهره­جویی می­گردد. انتگرالگیری از یک سیگنال را می­توان در فضای زمانی و یا فضای فرکانسی انجام داد. انتگراگیری در حوزه­ی زمان در ساده­ترین شکل بسان جمع تجمعی منظور می­شود بطوریکه با تقریب زده میشود. که فاصله­ی بین قرائت­ها و می­باشد. برای انتگرالگیری به ثابت انتگرال نیاز است، لکن ثابت انتگرال فقط جابجایی [2] قائم در سیگنال بدست آمده ایجاد می­کند و برای منظور ما می­توان آن را درنظر نگرفت.

  انتگرالگیری در حوزه­ی فرکانس، بسان اعمال فیلتر به اطلاعات می­باشد. تابع تبدیل ایده­آل، یا به شکل اندازه و فاز می­باشد. با صرفنظر از فرکانس صفر، فاز از شروع می­شود و در فرکانس نایکوئیست [3] به صفر کاهش می­یابد (شکل 1).

  شکل 1-تابع پاسخ فرکانسی فیلتر انتگرال­گیری

  به عنوان مثال و به منظور یافتن تابع پاسخ فرکانسی واقعی می­توان یک سیگنال تصادفی با باند فرکانسی گسترده [4] درنظر گرفت. از آن انتگرالگیری کرد و چگالی طیفی متقاطع [5] آن و سیگنال اصلی را حساب نمود و بر خود چگالی طیفی [6] سیگنال اولیه تقسیم نمود. اگر اندازه­ی ایده­آل و واقعی تابع تبدیل انتگرالگیری را در یک نمودار رسم کنیم، همانطور که در شکل (2-الف) ملاحظه می­شود، اندازه­ی تابع تبدیل، متناظر تابع تبدیل ایده­آل است بجز وقتی که به فرکانس صفر نزدیک می­شود. در این نقطه، تابع تبدیل واقعی و تئوری به مقدار میل می­کند. اگر نمودار نسبت اندازه­ی تابع تبدیل واقعی و ایده­آل رسم شود (شکل 2-ب)، ملاحظه می­گردد که فرکانس­های در بازه­ی با دقت مناسبی تقریب زده شده است و فراتر از این دامنه، با تقلیل دامنه مواجه خواهیم شد. بنابراین انتگرالگیری در حوزه­ی زمان و بصورت عددی، دامنه­ی فرکانس­های بالا را تغییر می­دهد. لذا اگر انتگرالگیری عددی دقیق بخواهیم، دو روش وجود دارد. روش نخست این است که باید انتگرالگیری را در فضای فرکانس و با تقسیم کردن ضرایب فوریه­ی سیگنال بر انجام دهیم و سپس نتایج را به فضای زمان بازگردانیم. روش دیگر اینست که با درونیابی در فضای زمان، فرکانس قرائت تا 100 برابر افزایش یابد [7] و سپس در حوزه­ی زمان انتگرالگیری انجام پذیرد. عموما 16 برابر شدن سرعت قرائت کافی می­باشد. با این کار تا محتوای فرکانسی فرکانس قرائت اصلی، نتایج خوبی گرفته می­شود.

  در انتگرالگیری، فرکانس­های خیلی پایین ایجاد مزاحمت می­کنند. حل این مساله جز با عبور دادن از یک فیلتر بالاگذر و حذف محتواهای فرکانسی خیلی پایین راهی ندارد. اگر انتگرالگیری در فرکانس­های کم مورد نیاز باشد، باید با حفظ ثبات محتوای فرکانسی، سیگنال هموار گردد [8] .

  شکل 2-الف-مقایسه اندازه­ی تابع پاسخ فرکانسی ایده­آل و واقعی(انتگرالگیری در حوزه­ی زمان)

  شکل 2-ب-نمودار تفاوت اندازه­ی تابع پاسخ فرکانسی ایده­آل و واقعی

  در سیگنال­هایی که مدت وقوع فرآیند کوتاه است، حذف فرکانس­های پایین با کاهش طول سیگنال نیز قابل انجام است. اثر کاهش طول سیگنال بر حذف فرکانس­های پایین به این صورت است که با توجه به اینکه دقت فرکانسی تبدیل فوریه منفصل هرتز می­باشد ( کل طول سیگنال به ثانیه است)، در صورتیکه طول سیگنال بقسمی اختیار شود که باشد، فرکانس­های کمتر از عملا حذف می­شود. مثلا با اختیار کردن یک ثانیه از سیگنال و سپس انتگرالگیری، فرکانس­های غیر صفر کمتر از یک هرتز عملا حذف شده است.

  [1] Colin Mercer , DIFFERENTIATING AND INTEGRATING SIGNALS NUMERICALLY, Digital signal processing notes & articles , www.Prosig.com June 2001.

  [2] offset

  [3] نصف فرکانس قرائت

  [4] wide

  [5] cross spectral density

  [6] auto spectral density

  [7] upsampling

  [8] decimated