تابع پاسخ فرکانسی

  تابع پاسخ فرکانسی [1] حاصل تقسیم پاسخ سیستم بر ورودی سیستم در فضای فرکانس تعریف می­شود (رابطه 1). و عموما با ماتریس H نشان داده می­شود. بطور مشابه، معکوس تابع پاسخ فرکانسی، حاصل تقسیم ورودی بر پاسخ سیستم در فضای فرکانس می­باشد که بطور عمومی با ماتریس Z نشان داده می­شود. اگر پاسخ سیستم به ترتیب تغییرمکان، سرعت و شتاب منظور شود، تابع پاسخ فرکانسی به ترتیب نرمی دینامیکی [2] ، جنبایی [3] و لختایی [4] خوانده می­شود. در این صورت معکوس تابع پاسخ فرکانسی به ترتیب سختی دینامیکی [5] ، امپدانس مکانیکی [6] و جرم آشکار [7] خواهد بود.

  صفر [8] و قطب [9] درایه­های ماتریس سختی دینامیکی به ترتیب به قطب و صفر در ماتریس نرمی دینامیکی تبدیل می­گردد. فرکانس­هایی که ماتریس سختی صفر می­شود و یا قطب ماتریس نرمی دینامیکی است، فرکانس تشدید [10] و فرکانس­هایی که قطب ماتریس سختی و یا صفر ماتریس نرمی دینامیکی است، فرکانس ضد تشدید [11] خوانده می­شود. درایه­های اشکال مختلف تابع پاسخ فرکانسی به شکل رابطه (2) تعریف می­شود. مثلا درایه­ی jk ا م ماتریس نرمی دینامیکی، حاصل تقسیم تغییرمکان گره­ی j ا م بر نیروی وارد شده در گره­ی k ام در فضای فرکانسی می­باشد وقتیکه باری در سایر گره­ها وارد نشود.

  شکل­های مودی و فرکانس­های ارتعاشی از تجزیه مقادیر سینگولار [12] ماتریس نرمی دینامیکی قابل محاسبه است. وقتی سیستم خود الحاق [13] با میرایی متناسب باشد، بردارهای ویژه حقیقی هستند و مقادیر ویژه بدلیل وجود میرایی مختلط هستند (رابطه 3-الف). در این حالت اگر میرایی غیرمتناسب باشد، بردارهای ویژه مختلط می­شود و بصورت و در می­آیند و مقادیر ویژه بجای بصورت مزدوج و می­گردد. در حالت عمومی که سیستم غیرخود الحاق با ماتریس­های سیستم غیرمتقارن می­باشد، سیستم بردارهای ویژه راست و چپ مختلط خواهد داشت (رابطه 3-ب)

  واضح است که اندازه­گیری معکوس تابع پاسخ فرکانسی از اندازه­گیری مستقیم تابع پاسخ فرکانسی عملی­تر است. چرا که برای اندازه­گیری مستقیم تابع پاسخ فرکانسی، تمام درجات آزادی جز یکی باید بسته شود، که در عمل کاری ناممکن است. حال آنکه معکوس تابع پاسخ فرکانسی با اعمال نیروی تحریک واحد دریکی از درجات آزادی و اندازه­گیری پاسخ در سایر درجات آزادی، قابل انجام است. همچنین باید توجه کرد با افزایش یا کاهش دقت مدلسازی و ایجاد تغییر در درجات آزادی، تابع پاسخ فرکانسی تغییر می­کند، حال آنکه معکوس تابع پاسخ فرکانسی، تغییری نمی­نماید.

  ماکزیمم­های تابع پاسخ فرکانسی نرمی دینامیکی، جنبایی و لختایی، متناظر با فرکانس­های تشدید سیستم و می­نیمم­های آن متناظر با فرکانس­های ضد تشدید می­باشد. بطور کلی، رفتار تابع قبل از فرکانس ضدتشدید تا نزدیکی فرکانس تشدید هر مود، به سختی آن مود بستگی دارد. در محدوده­ی رزونانس به میرایی مود بستگی پیدا می­کند و از اندکی پس از فرکانس تشدید تا فرکانس ضدتشدید دیگر، به جرم متناظر با آن مود وابسته است. تابع پاسخ فرکانسی المان سختی، میرایی ویسکوز و جرم در جدول (1) نشان داده شده است.

  جدول 1- تابع پاسخ فرکانسی المان سختی، میرایی ویسکوز و جرم

  [1] frequency response function (FRF)

  [2] receptance

  [3] mobility

  [4] inertance

  [5] dynamic stiffness

  [6] mechanical impedance

  [7] apparent mass

  [8] zero

  [9] pole

  [10] resonance frequency

  [11] anti-resonance frequency

  [12] singular value decomposition

  [13] self adjoint