مودهای مختلط [1]

  برای تحلیل دینامیکی یک سازه، ماتریس سختی دینامیکی سازه محاسبه می­شود. این ماتریس در هر فرکانس یک مقدار دارد. فرکانس­های تشدید یا رزونانس، متناظر صفرهای سختی دینامیکی است. در این فرکانس­ها، سختی دینامیکی سازه صفر می­شود. همچنین فرکانس­هایی وجود دارد که در آن فرکانس­ها، ماتریس سختی دینامیکی بینهایت می­شود. به این فرکانس­ها که قطب­های سختی دینامیکی هستند، اصطلاحا فرکانس­های ضدتشدید [2] گفته می­شود.

  در مسائل معمولی که در دینامیک سازه حل می­شود، ماتریس سختی دینامیکی یک عدد حقیقی است. یک عدد حقیقی، حالت خاصی از عدد مختلط است که مقدار فاز آن فقط صفر یا 180 درجه است. اعداد مثبت حقیقی فاز صفر، و اعداد منفی حقیقی، فاز 180 درجه دارند. در حالت کلی [3] و در چارچوب سیستم­های خود الحاق [4] ، در صورت وجود میرایی ویسکوز [5] یا هیسترزیس [6] غیرمتناسب [7] ، مقادیر ویژه و یا حتی بردارهای ویژه­ی ماتریس سختی، که همان فرکانس­های طبیعی و شکل­های مودی می­باشد، عدد مختلط می­شود. بخش حقیقی و موهومی یک مقدار ویژه مختلط، متناظر بخش­های کاهشی و نوسانی در محور زمان خواهد بود. مختلط شدن بردار ویژه که در محور مکان می­باشد، به این معنا است که هر دو نقطه از سازه نه تنها اندازه­ی ارتعاش مختص به خود را دارد، بلکه فاز متفاوتی نیز دارد. یعنی هر دو نقطه از سازه که فاز متفاوتی نسبت به هم دارند، در زمان­های متفاوتی به حداکثر مقدار خود می­رسند. اگر مقدار ویژه یا شکل مود، حقیقی باشد به این معنا است که اختلاف فاز تمام نقاط سازه، صفر یا 180 درجه است و این خاصیت وجود دارد که تمام نقاط سازه در یک زمان به حداکثر مقدار خود در حین ارتعاش می­رسند. بطور مشابه در مود حقیقی تمام نقاط سازه در یک زمان، موقعیت صفر خود را کسب می­کنند، و در هر سیکل ارتعاش دو برحه­ی زمانی وجود دارد که سازه کاملا بدون تغییرشکل است. بنابراین مود حقیقی ظهور موج ایستا [8] دارد.

  این ویژگی مود مختلط که حداکثر مقادیر نقاط مختلف سازه در زمان­های متفاوتی ایجاد می­شود، نتیجه می­دهد که موقعیت صفر نقاط مختلف در زمان­های متفاوت رخ می­دهد. بنابراین مود مختلط ظهور موج متحرک [9] دارد.

  مود مختلط در عمل بخاطر دلایل متفاوتی رخ می­دهد. شکل­های مودی بدست آمده از اندازه­گیری­های انجام شده در حال بهره­برداری از سازه [10] غالبا مختلط هستند. البته این شکل­های مودی، شکل­های مودی طبیعی [11] در حالت ارتعاش آزاد نمی­باشند. شکل­های مودی طبیعی مختلط در سازه­هایی که اعضای چرخنده دارند و نیروهای ژیروسکوپیک [12] در آن­ها وجود دارد، مشاهده می­شود. اما مودهای طبیعی در سازه­های معمولی بدون اعضای گردنده فقط وقتی مختلط می­شود که میرایی غیرمتناسب [13] باشد. غیرمتناسب بودن میرایی در عمل قابل انتظار است زیرا با وجودیکه میرایی داخلی (هیسترزیس [14] ) در اغلب سازه­ها به شکلی پخش شده است که متناسب با سختی است، لکن بخش اعظم میرایی در سازه­های واقعی در اتصالات اعضا ایجاد می­شود که منجر به پخش غیرمتناسب میرایی می­گردد. لذا در بیشتر سازه­ها این عدم تناسب وجود دارد. باید توجه نمود که غیرمتناسب بودن میرایی شرط لازم برای وجود مود مختلط است و حداقل وقتی درجه­ی مختلط بودن زیاد باشد، شرط کافی نیست. شرط لازم دیگر برای مختلط شدن مود این است که دو یا چند مود سازه نزدیک به هم باشند. نزدیکی مودها به این معنا است که فاصله­ی فرکانس­های طبیعی، کمتر از میرایی غالب در یکی یا هر دو مود باشد. مثلا اگر میرایی مودی در مرتبه­ی پنج درصد یا بیشتر باشد، فرکانس­های طبیعی 105 و 110 هرتز به هم نزدیکند ولی اگر میرایی یک درصد یا کمتر باشد، ایندو فرکانس از هم دورند.

  حالت دیگری که مودهای مختلط ایجاد می­شود در سازه­هایی است که دو یا چند مود فرکانسی طبیعی یکسان دارند. این حالت در عمل کم نیست. مثلا در مورد سازه­ی ساده­ی بدون میرایی با دو تقارن، مانند یک میله­ی مدور یکسر گیردار، این مهم رخ می­دهد. این سازه­ی ساده دو مود با فرکانس­های طبیعی مساوی دارد. لذا شکل مودی تا حدودی دلخواه دارد. در واقع شکل مودی ممکن برای این سازه، هر ترکیب خطی دو شکل مودی خمش در صفحه­ی قائم و خمش در صفحه­ی افقی امکانپذیر می­باشد که شامل خمش در هر صفحه وقتی دو مود هم­فاز هستند و حرکت چرخشی، وقتی دو مود اختلاف فاز 90 درجه دارند، می­باشند. این حالت اخیر، مود مختلط است و در این سازه­ی متقارن حتی در حالت عدم وجود میرایی و اثرات ژیروسکوپیک ناشی از چرخش بروز می­کند [15] .

  هدف از مطرح کردن بحث مودهای مختلط این بود که در مساله وضعیت­سنجی دینامیکی سازه­ها از روی آزمایش میدانی، برخی اوقات مودها مختلط محاسبه می­شود. مطالب مطرح شده تا حدودی دلیل ظهور مودهای مختلط را در سازه­های واقعی توجیه می­کند. جهت مطالعه بیشتر به کتاب تست مودال دکتر اوینز مراجعه شود.

28/3/86

  [1] Complex modes

  [2] anti-resonance frequency

  [3] البته حالت کلیتر از این حالت نیز وجود دارد و آن زمانی است که ماتریس وابسته به تغییرمکان (سختی) و یا وابسته به سرعت پادمتقارن (skew symmetric) در معادلات تعادل وجود داشته باشد. پاد متقارن شدن ماتریس وابسته به تغییرمکان ناشی از اثرات هیدرودینامیکی یا اصطکاک کولمب و غیره است که باعث ناپایداری سیستم می­تواند بشود. پادمتقارن شدن ماتریس وابسته به سرعت، در اثر نیروی ژیروسکوپی در اجزای گردنده و غیره است که باعث مختلط شدن شکل­های مودی می­شود. این سیستم­ها که ماتریس­های سیستم غیرمتقارن دارند، سیستم­های غیرخود الحاق (non-self adjoint) خوانده می­شوند. در این سیستم­ها خاصیت تقابل (reciprocity) حاکم نیست. در این حالت بردارهای ویژه­ی دست راستی و بردارهای ویژه­ی دست چپی خواهیم داشت که بردارهای ویژه­ی دست راست، همان شکل­های مودی (mode shape) و بردارهای ویژه­ی دست چپی شکل­های ارتعاش طبیعی (normal excitation shape) است که الگوی نیرو (pattern of force) را بیان می­کند و نه الگوی پاسخ.

  [4] Self adjoint system

  [5] viscous

  [6] hystertic

  [7] non-proportional

  [8] stationary wave

  [9] travelling wave

  [10] operating deflection shape

  [11] normal mode

  [12] gyroscopic

  [13] non-proportional

  [14] hysteretic

  [15] D. J. Ewins, (2000), Modal Testing, Theory, Practice and Application, second edition, Research Studdies Press Ltd..